L'art de calculer les combinaisons dans MTG - Magic the Gathering

L'art de calculer les combinaisons dans MTG

L'art de calculer les combinaisons dans MTG

Dans cet article, vous trouverez des tableaux récapitulant les probabilités d'obtenir tel nombre de terrains (par exemple) dans votre main de départ en fonction de la taille du deck, de la taille de la main et du nombre de terrains que vous avez mis dans votre deck. D'ailleurs, grâce à ces tableaux, vous comprendrez comment déterminer la courbe de mana en fonction des cartes qui composent le deck.

   / Connaisseur / Découverte et apprentissage de Magic / Blanc / Bleu / Noir / Rouge / Vert / Incolore

Dans cet article, vous trouverez des tableaux récapitulant les probabilités d'obtenir tel nombre de terrains (par exemple) dans votre main de départ en fonction de la taille du deck, de la taille de la main et du nombre de terrains que vous avez mis dans votre deck. D'ailleurs, grâce à ces tableaux, vous comprendrez comment déterminer la courbe de mana en fonction des cartes qui composent le deck.

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Articles

le , par louislucien22
8

Avertissement :
En élaborant cet article, je me suis inspiré de celui du site de MagicCorporation.

Lien : http://www.magiccorporation.com/gathering-articles-view-57-magic-explique-par-les-maths.html

Comme vous pouvez le constater, l'article de Plume est plus que complet, sauf qu'il est illisible faute du site de MagicCorporation, tableau sur fond bleu, pourcentage non arrondi et paragraphe serré ! Édité le 01/05/2003. Bref, il mérite un coup de propre!



D'où me vient la genèse du projet?




Ça va faire un moment que je l'ai en tête. Pour être franc, depuis le FCC S2025E08, quand j'ai puni le Nain de Naheulbeuk avec un deck de 40 cartes composé de 23 exemplaires de sa .
Puis j'ai récemment soumis ce type d'épreuve" de calcul à Maomoïsu lors de notre dernier FCC, le S2026E01.
Personne n'y a répondu ou tenté l'exercice. Ce n'est pas grave! L'article sera là!

Introduction rapide (promis !) :



Si je mets 10 cartes de terrains dans un deck de 60 cartes, vous me répondrez quoi sur mes chances d'obtenir 1 terrain? 1/6?
Bien sûr que non!
Un deck est un paquet de cartes, on le mélange puis on le coupe!
Je pourrais calculer toutes les permutations possibles : (D!) Où D est la taille du deck en nombre de cartes.
Tout comme je pourrai déterminer ses arrangements possibles que j'obtiendrai en piochant 7 cartes.
Mais comme on se fiche de l'ordre d'arrivée des cartes en main, on se contente des combinaisons.

Je vous ai perdu? Pas grave encore! C'est des cours de mathématiques de lycée!
Lien vers un cours : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-permutations-les-arrangements-et-les-combinai-m1346

Cependant, je vous rassure ! Je suis rouillé en mathématiques mais... j'ai Excel sur mon PC ! (Valable aussi si j'avais le Tableur de LibreOffice)

Sur Excel, pour calculer une combinaison, il suffit d'entrer dans la case {=combin(1er nombre;2ème nombre)}.

Maintenant, je vais vous présenter des cas pratiques où le calcul de combinaisons puis l'obtention d'un tableau récapitulatif des chances (en %) changera votre façon de construire un deck MTG, que ce soit au format "classique" de taille 60, au format scéllé/draft de taille 40, au paquet tournoi de taille 75 ou au format singleton de taille 100. Et puis, est-ce utile d'avoir 4 exemplaires d'une même carte? Où est-ce que je peux me permettre d'incorporer 12 cartes similaires dans mon deck de 60 ?
Mesdames, Messieurs, voici un sujet qui améliora sûrement votre façon de créer des funcard !


I) Cas d'école du nombre de terrains de base dans un paquet de 60



Comme vous pouvez le constater, dans les règles de notre cher jeu de carte préféré, nous pouvons avoir n'importe quel nombre de terrains de base dans notre deck construit!
Cependant, un terrain de base ne sert qu'à produire un mana de la couleur de son élément, inscrit en filigrane.
Pour nous simplifier la tâche, nous partons sur un deck construit monocolore.

Comment avoir les formules?
Nous avons un deck de 60 cartes et je pioche dès le début de partie 7 cartes.
C'est déjà un début!
Sur mes 60 cartes, je demande 7 cartes.
La combinaison Excel s'écrira combin(60;7). Et c'est égal à 386206920 de mains possibles. Pas pratique hein?
On va appeler ce nombre N.

La formule : N = combin(D;m) où D est la taille du deck et mêla taille de la main.

Pour l'instant, j'obtiens le même résultat que sur MagicCorporation, c'est Ok!

Pour la probabilité d'avoir Y terrains en mains dès à la première pioche des sept cartes, parmi les X terrains composant le deck de taille D.

La première probabilité : combin(X;Y)
La deuxième probabilité : combin(D-X;m-Y)

Taille du deck : 60
Taille de la main : 7
Nombre de terrain dans le paquet : X, ici je vais prendre X = 24 terrains
Nombre de terrain que je souhaiterais avoir en main dès la 1ère pioche : Y, ici je vais prendre Y=1

Donc, je calcule P/N :
Combin(X;Y)*combin(D-X;m-Y)/combin(D;m) = combin(24;1)*combin(26;6)/combin(60;7)= 12%

Je l'ai arrondi bien sûr, car 12,1041353%, les chiffres après la virgule ne veulent rien dire!
Les résultats concordent!

Minute!
Avant de vous présenter mon tableau Excel pour D=60, j'ai tendance à demander aux participants du FCC de composer un deck où D=40.
Et si je vous montre en premier ce tableau? (absent dans MagicCorporation!)

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Le code couleur !
Noir (on verra plus tard!) : IMPOSSIBLE! Affiché 0%.
Rouge : en dessous des 5% (5% exclu)
Jaune : compris entre 5% et 20% (20% exclu)
Blanc : compris entre 20% et 33% (33% exclu)
Vert : supérieur à 33% (1 chance sur 3 quand même!)

La lecture du tableau :
- Une ligne correspond à la quantité d'exemplaires d'une carte (ici des terrains de base) qui compose le deck (ici de taille 40).
- Une colonne correspond au nombre de cette carte parmi les sept cartes de la première pioche.
- Exemple de lecture : si mon deck est composé de 7 cartes de terrains de base, mes chances de n'avoir aucun terrain dès la première pioche sont de 23%, contre 42% pour avoir un terrain de base dès la première pioche, etc...

Et comme vous pouvez en conclure dès la première lecture de ce tableau, la composition de votre deck en fonction du nombre de terrain influencera votre courbe de mana de votre construit!

Vous avez plein de petites créatures au coût converti de 1, il vous sera conseillé de construire un deck de 40 avec 7 à 9 terrains de bases.
Et si vous avez beaucoup de créatures à coût converti de 2, ce sera conseillé entre 10 et 13 terrains.
Parce que la probabilité d'avoir le nombre de terrains que vous souhaitez avoir dès les tours 1 et 2 est supérieure ou égal à 1 chance sur 3!

Et à l'inverse, si vous jouez des cartes avec un coût converti de 3 ou 4, vous opterez pour une composition de 16 à 20 terrains! Ici, vous verrez que la probabilité d'avoir ce nombre de terrains souhaité est lissée, de sorte qu'elle devient inférieure (mais proche) de 1 chance sur 3.


Voilà à quoi servent ces tableaux de cette première partie, à déterminer le nombre de terrains à mettre dans votre construit que ce soit scellé/draft (40), classique (60), tournoi (75) ou singleton (100).

Je vous partage de si tôt les autres tableaux, puis nous passons à la deuxième partie.

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II) Cas du nombre d'exemplaires d'une même carte dans un construit



Ici, avec les mêmes calculs énoncés dans la partie précédente, je construis mes différents tableaux suivants:
- Le nombre X d'exemplaires de cette carte.
- Le nombre Y d'exemplaires de la carte que j'aurai en piochant les sept premières cartes.
- Les probabilités associées selon la taille de votre deck construit.

J'en profiterai également pour démontrer qu'un deck calcique de 60 et qu'un Brawl (59 cartes + le commandant hors bibliothèque) ont les mêmes tableaux. Et ce sera de même entre un simple paquet de 100 cartes et un commander (99 cartes + le commandant en dehors de la bibliothèque).

Commençons par le 40 ! (regroupé avec le 75 hélas !)

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Déjà, je remarque que pour un deck de 40, d'après le tableau, il est surérogatoire d'avoir 4 exemplaires d'une même carte. Certes, la probabilité d'avoir cette carte dès la première pioche, que ce soit un ou deux exemplaires, est plus élevée. Mais comme la taille du deck (40) est plus petite, je vous conseille d'opter pour 3 exemplaires à la place de 4. (Moi qui essaye de construire un deck 40 pour chaque FCC, je m'aperçois qu'il faut que je fasse plus de 6 funcards différentes, par exemple 9 ou plus)

Aussi, dès ce tableau, vous remarquerez deux choses :
- De un, il est impossible d'avoir deux exemplaires de la dite carte alors que vous avez mis qu'un exemplaire. (évident!)
- De deux, même si vous mettiez quatre fois la même carte, il est très peu probable d'avoir plus de deux fois la même carte dans la première pioche. Et là, ce tableau permet de détecter les tricheurs.


Le format 60 classique comparé au Brawl:

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Qu'importe qu'il y ait une carte en moins, ce sont les mêmes probabilités!

Définition d'une carte similaire : ce sont des cartes qui ont en commun le même CCM et le même effet/la même capacité.

Exemple : un elfe mythique, un elfe de Llanowar, des elfes cordelliens et un oiseau de paradis, ces quatre cartes citées sont similaires!

Pour le 60, ça vaut le coup de monter à quatre exemplaires d'une même carte, 1 chance sur trois quand même!

Ceci dit, pour le nombre de cartes similaires dans un deck, ce sera étudié dans la prochaine partie.

Comme attendu! Plus la bibliothèque est grande, moins vous avez de chance d'obtenir un ou deux exemplaires de la carte souhaitée.


Le format 100 comparé au Commander :

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23% de chance d'obtenir la carte souhaitée lors de votre première pioche (D=100) contre 34% de chance d'obtenir la carte souhaitée (D=60).

Donc on comprend mieux maintenant pourquoi le format Commander (ou EDH) se base sur un singleton de 100 cartes. Et en plus, ce format donne un défi de trouver autant que possible des cartes similaires. (Bien que je n'en sois pas fan)

Une question : avec les cartes similaires, est-ce que ça vaut le coup de monter au-delà de 4 ?


III) Cas du nombre de similaires dans votre construit



Choix arbitraire : ici je varie les similaires de 1 à 12, parce que je ne vois pas l'intérêt d'avoir au-delà de 12 similaires. Il faut voir chaque carte de votre construit comme une carte prenant un emplacement (slot en anglais). Et comme MTG est un jeu qui vous demande de créer un plan, votre objectif n'est pas d'être prévisible.

Puis bon! Au pire, vous regarderez du côté des tableaux pour la quantité de terrain au-delà de 12, ce sont les mêmes conclusions.

Format 40 :

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Je vous l'accorde, ce tableau est absurde pour un draft ou un scellé!
En revanche, je vous rappelle que je suis le premier à demander à chaque fois des decks construits de 40 cartes à partir de vos funcards. Et donc ce tableau sert à ça! Notamment pour celles et ceux qui, à chaque FCC, si le sujet le permet, de développer un cycle.


Format 60 :

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Au bout de 12 similaires, au choix, 19% de ne rien avoir, 38% d'avoir un similaire, 29% d'avoir deux similaires et 11% d'avoir trois similaires.
Ça correspond à 8 similaires dans un construit de 40.


Format 75 :

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Format 100 :

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Après, je vous laisse faire votre conclusion après lecture des tableaux.
Plus le format est grand, plus nous avons besoin d'un nombre de similaires important, mais plus la probabilité d'obtenir au moins un similaire baisse (donc moins c'est rentable! Je rappelle qu'un similaire prend un emplacement !).
Du moins, c'est ce que j'en pense !

Il ne vous reste plus qu'à expérimenter, ce tableau n'épargne pas l'obligation d'effectuer des parties avec vos FC.
(Oui ! Je vous rappelle que vos FC doivent obligatoirement être jouables pour concourir au FCC! Quoi de mieux qu'un rapport de partie pour prouver la jouabilité !)


Y aura-t-il une partie IV pour l'étude des cas croisés durant les FCC?



Pour cette étude, il faut que je demande à chacun des sectateurs (ayant participé) s'ils sont d'accord pour que je la fasse.
Je m'en excuse d'avance s'il n'y aura pas de quatrième partie. Sans doute un autre article sera là pour combler cette fin qui finit en eau de boudin!


Conclusion :



Bon, bah! Nous y sommes! Nous n'avons plus d'excuses!
Nous n'avons plus d'excuse pour écrire un commentaire sous une FC et nous amuser avec les maths.
Nous n'avons plus d'excuse pour l'abandon du DBC et du DB.
Nous n'avons plus d'excuse pour calculer les combos.
Et si nous ne voulons pas utiliser les tableaux que je vous ai fournis, nous n'avons plus d'excuse pour mettre nos FC dans des mini-deck prêt à jouer.

Honnêtement, ça fait du bien un article comme celui-ci!
Je ne comprends pas le pourquoi il était absent sur le site car c'est de la vulgarisation mathématique. Peut-être que Valgavoth nous a enlevé ce type d'article pour nous forcer à le chercher, tel des magiciens fous à la recherche des chocolats de Pâques.

J'espère que mes tableaux vous plairont, qu'ils soient bénéfiques à toute notre communauté.
N'hésitez pas à me reprendre s'il y a des matheux parmi vous.
Et je vous dis à la prochaine, mes chers sectatrices et sectateurs.

Alors c'était comment ?

     
Les bonnes choses sont encore meilleures quand elles sont partagées !

Vous aussi, louez son œuvre !


Si vous êtes l'une ou l'un de celles et ceux qui ont choisi la rébellion contre le brouillard de la toile qui étouffe les esprits, identifiez-vous pour participer. Sinon vous avez encore une chance d'éveiller vos sens, en rejoignant notre communauté de Magiciens Fous.

L'auteur

louislucien22
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Ne vous en faites pas, j'ai bu ma potion red raging bull. C'est plein d'énergie, sans danger pour la santé et comme ça donne des ailes, ils ne pourront pas me bloquer.

Cadet impatient, dernières paroles

Proposé par Dark Mogwaï le 19/06/2012

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Mais quel moulin à vent cet Aang, si seulement il avait pu être le dernier maître de :

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