Magic et les stats

Attention, ceci est un avertissement ! Que tous ceux à qui les mathématiques, statistiques et autres opérations hérissent le poil cessent de lire ces lignes : vous allez entrer dans la partie sombre de Magic, celle de l'inconnu et de l'imprévu. Je vais vous montrer le lien entre les statistiques et Magic. Car rappelons-nous : Richard Garfield était, à la base, prof de math...

Quoiquoiquoi ?

Quand on builde un deck, on se demande combien d'exemplaire de chaque carte faut-il y mettre. On va forcément me dire que pour les cartes indispensables, il faut les mettre 4 fois. Mais est-ce vraiment vrai ? Naturellement, on se dit qu'il suffit de la mettre en 4 exemplaires pour être sur de l'obtenir dans la partie. On a alors 4 chances sur 60 de la piocher n'est-ce pas, donc une chance sur 15. FAUX, archi-faux ! La vraie formule n'est autre que :
P(X≥1)=1-{(60-n) !*60 !/ [(60-n-t) !*(60-n-t) !}
Bon, ben ça y est, à tous ceux qui ont vomi en lisant la ligne précédente, je vous avais prévenu... Pour les autres expliquons un peu... La probabilité de tirer au moins une fois une carte, c'est égal à la probabilité de tout les événements possibles moins celle de ne jamais tirer la carte en question. Et la probabilité de ne jamais tirer la carte, si on l'a en 4 exemplaires, c'est à la première pioche de 56/60, puis de 55/59, puis 54/58, et ainsi de suite... Formulée avec des exponentielles, c'est ainsi que l'on obtient la formule bien précédente à vous donner de l'urticaire. Et ça change quoi ? Ben que la proportion des chances de tirer la carte n'est pas celle que l'on imaginait, et que bien sur, elle augmente au cours du temps. Parce que forcément, quand on a pioché la dernière carte, si tu ne l'as toujours pas trouvée, poses-toi des questions sur le type qui a demandé à jeter un coup d'œil à ton deck tout à l'heure...
A quoi ça a servi que je vous explique tout ça ? A vous donner une raison de changer le beau PC sur lequel vous venez de vomir en lisant ces lignes, à vous acheter des aspirines, et à comprendre la suite.

Et en gros, ça donne ?

Voici donc le graphique représentant tout cela (merci matlab): la courbe en haut représente la probabilité en fonction du tour auquel on pioche la carte d'avoir obtenu jusqu'à présent au moins un exemplaire de la carte voulue. En bas, si l'on a un seul exemplaire.






Tout ça en ayant prit en compte le fait qu'on a d'abord pioché 7 cartes au début. En gros, ça rapporte qu'on a environs 60 % de chances d'avoir tiré la carte au 6é tour si elle est en 4 exemplaires. 20 % si elle y est en 1 seul. Et pour savoir, si j'ai 2 tuteurs et 3 exemplaires de la carte nécessaire, j'ai environs 70% de chances de pouvoir l'avoir avant le 5é tour.
Tout ça, c'est « important » pourquoi ? parce qu'on se rend compte que pour un jeu optimal, on a pas besoin de mettre une carte en 4 exemplaires alors qu'on en a pas besoin avant le sixième tour. La mettre en 3 fois au lieu de 4, ça libère un slot. Et deux fois comme ça, ça fait 2 slots. Ca sert parfois pour les jeux combos ou contrôle. Parce qu'avoir trop de chances d'avoir une carte injouable avant longtemps dans la main, c'est pas toujours utile. Parce que si j'ai besoin de deux cartes différentes au 6é tour pour mon combo, sans tuteur ou quoi que ce soit, si elle y est en 4 exemplaires chacune, ça fait à peu prés une chance sur 3 de l'obtenir. Donc, les piocheurs, c'est sacrément utile aussi...

On parle de Combo ?

Pour calculer les probabilités de réunir un combo, il suffit de multiplier les probabilités entre elles (cela ne sera pas exactement juste, mais ce sera une bonne approximation). Par exemple, si je veux réunir mon combo Hommage de sang + Lien sanguin + vampire, disons que j'ai besoin d'avoir pioché les 3 cartes au sixième/septième tour (6é pioche donc). Voici un graphe de la probabilité de la réunir, en fonction du nombre de Lien sanguin dans mon deck, si j'ai 2 hommages de sang et 8 vampires :













Moi qui met 3 Lien Sanguin dans mon deck, ça me fait 1 chance sur 5 de tout avoir (et de gagner la partie ^^) au septième tour. Il s'agit d'une approximation, car le fait de piocher une telle carte influe (légèrement, puisqu'on en a 60) sur les chances d'en piocher une autre.
Ensuite, quelques graphes pour des combos diverses :

Combos de 2 cartes : nb2 est le nombre d'exemplaires de la 2é carte du combo dans le deck






















Combos de 3 cartes : nb3 est le nombre d'exemplaires de la 3é carte du combo dans le deck












Et on pourrait en faire pleins d'autres comme ça, mais ça devient trop lourd (graphes à X dimensions...). Retenez juste qu'il suffit de multiplier les probabilités d'obtenir chaque carte séparément pour obtenir la probabilité totale de réunir toute les cartes.
Attention, il ne s'agit que des chances de piocher les cartes en question, pas de pouvoir les utiliser, car il faut piocher du terrain alors... De la proba en plus à calculer...
Donc, si je veux avoir la combo Boule de feu + Transfert + Black Lotus dans ma main de départ, avec 4 Channel et 4 Fireball, et un Black Lotus, ça fait... environs une chance sur 50... Y'a d'l'espoir !

OK, on s'est cassé les ****, acheté de l'aspirine, et tout ça pour comprendre ces lignes... Mais j'ai appris quwé ? Ben :
- Les chances de tirer une carte ne sont pas toujours celles que l'on croit
- Pour ceux qui en doutaient encore, la pioche c'est important, les tuteurs aussi
- Pas toujours besoin de mettre 4 exemplaires de chaque carte
- Un peu de math...
- Lire quelques graphes ennuyeux...

Hé bien voila, on a fini. Pas si hard que ça heing ? Quoi ? Vous saviez déjà qu'il faut mettre des tuteurs et des piocheurs dans son deck combo ? Ben au moins maintenant je vous aurais démontré pas a+b que c'est nécessaire, nah !